増築未登記の部分がある中古物件については、住宅ローンは原則審査対象外となります。
フラット35の場合も、各金融機関で基準が異なるので確認が必要です。フラット35は全金融機関で審査基準が一緒なわけではありません。
未登記物件についても、申し込み時に何かしら条件がついているはずです。
少なくとも融資実行時までには登記が完了している必要があります。
また、未登記物件については、金融機関としては、増築部分を登記していない理由が気になります。
一番多いのは、増築部分を登記することによる容積率オーバーです。
容積率オーバー＝審査不可という金融機関がほとんどだと思います。
（容積率オーバーが分かっているから、そもそも物件が安いケースもあります。）
本審査前に登記が完了しないと、担保評価が難しいという点は確かにあるので、一度金融機関にお問い合わせしてみてください。
その際には、担当者の上司も交える方が早く解決すると思います。